2.7.3. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный
случай)
Метод функции Грина базируется на формуле Грина, являющейся
следствием формулы Остроградского – Гаусса:
div ,
n
SV
a d a dv
(2.137)
где
S
– граница области
,V
cos cos cosn i j k
– единичный
вектор внешней нормали к
,S
n
a a n
– проекция вектора
a
на
направление
.n
Пусть
,,u u x y z
и
,,v v x y z
– две любые дважды
дифференцируемые функции и
grad grad .a u v v u
Тогда
grad grad grad grad ,
n
a u v v u n u v n v u n
и поскольку
скалярное произведение градиента функции на единичный вектор равно
производной функции по направлению этого вектора, то
grad , grad
vu
v n u n
nn
.
Поэтому выражение для
n
a
примет вид
n
vu
a u v
nn
.
Перейдем к вычислению
div :a
:
div div grad grad div grad div grad .a u v v u u v v u
Преобразуем каждое из полученных выражений
div grad div
v v v
u v u i u j u k
x y z
2 2 2
2 2 2
v v v v v v
u u u u
x x y y z z
x y z
grad grad .
u v u v u v
u v u v
x x y y z z
Аналогично получаем
div grad grad grad .u v v u v u
Поэтому
div .a u v v u
Подставляя выражения для
n
a
и
diva
через
u
и
v
в формулу (2.137),
окончательно получаем
.
SV
vu
u v d u v v u dv
nn
(2.138)
7Б13 (Формула Грина). Пусть функции
,,u u x y z
и
,,v v x y z
дважды дифференцируемы и поверхность
S
является границей области
.V
Тогда имеет место формула Грина (2.138).
Нам понадобится обобщение этой формулы на случай, когда область
ограничена не одной, а двумя поверхностями. Пусть область
W
ограничена снаружи замкнутой поверхностью
S
и изнутри замкнутой
поверхностью
1
S
, лежащей целиком «внутри»
S
(так что
W
– это часть
области, ограниченной
S
, – часть «внутренности»
S
, внешняя
относительно
1
).S
Тогда формула Остроградского – Гаусса (2.137)
запишется в виде
1
1
div ,
nn
S S W
a d a d adv
где
1
n
– единичный вектор внешней нормали к
1
,S
т. е. вектор,
направленный внутрь
1
S
(«внутренность»
1
S
не принадлежит
W
и поэтому
является областью, внешней относительно
W
). Соответственно формула
Грина (2.138) примет вид
1
11
.
S S W
v u v u
u v d u v d u v v u dv
n n n n
(2.139)
7А14 (Замечание). Формулу (2.139) будем называть формулой Грина
для области
,W
ограниченной поверхностями
S
(внешняя граница) и
1
S
(внутренняя граница). Эта формула и служит основой метода Грина
решения задачи Дирихле в пространстве.
Введем теперь определение самой функции Грина для трехмерного
случая. В качестве поверхности
S
возьмем границу
области
,
для
которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри
произвольную,
но фиксированную точку
0 0 0
, , ,A x y z
которую окружим сферой
1
S
радиуса
0
с центром в
.A
При этом предполагаем, что сфера
1
S
целиком лежит «внутри»
(рис.2.12).
Тогда между
1
S
и
мы имеем область
.W
Обозначим, далее, через
,,P x y z
любую точку области
, отличную от
,A
и через
AP
r
–
расстояние между точками
A
и
:P
2 2 2
0 0 0
.
AP
r x x y y z z
Рис. 2.12
Функция
1
AP
w
r
является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению
Лапласа
0,w
во всех точках, кроме самой точки
,A
в которой она
обращается в бесконечность. Действительно,
0AP
Ap
r x x
xr
,
0
23
1
AP
AP Ap
w r x x
xx
rr
и
2
2
0
0
2 3 4 3 5
11
33
AP
AP AP AP AP
xx
w x x r
x
x r r r r
2 2 2
0 0 0
5
2
AP
x x y y z z
r
;
аналогично
= S
n
P
A
W
r
AP
2 2 2
2
0 0 0
25
2
AP
y y x x z z
w
yr
,
2 2 2
2
0 0 0
25
2
AP
z z x x y y
w
zr
и
222
2 2 2
0
www
x y z
.
Еще проще в этом убедиться, если рассмотреть лапласиан в
сферической системе координат с началом в точке
.A
Тогда
,
AP
rr
1
w
r
и
2
2
1
0,
w
wr
rr
r
так как
2
1
w
r
r
и
w
не зависит от
и
.
Функцию
1
AP
w
r
называют фундаментальным решением уравнения
Лапласа.
Обозначим, далее, через
1
w
решение задачи Дирихле для области
с
краевым условием
1
.ww
(2.140)
Согласно определению функция
1
w
гармоническая во всей области
,
в то время как
w
– гармоническая только в области
,W
получающейся
удалением из области
шара, ограниченного сферой
1
S
с центром в
точке
A
(таким образом, область
W
не содержит точки
)A
.
7А15 (Определение). Разность функций
1
,ww
определенных выше,
называется функцией Грина для области
и обозначается через
.G
Таким
образом,
0 0 0 1 1
1
, , ; , ,
AP
G G x y z x y z w w w
r
.
Функция Грина зависит как от координат
,,x y z
текущей точки
,P
так
и от координат
0 0 0
,,x y z
произвольно выбранной, но фиксированной точки
A
(координаты
0 0 0
,,x y z
входят в явном виде в
,w
но они войдут также
через краевые значения и в
1
)w
.
В силу условия (2.140) функция Грина на границе
обращается в
нуль:
0.G
(2.141)
Пусть теперь
u
– искомая гармоническая в области
функция,
принимающая на границе
значения
.u
Положим
vG
и применим
формулу Грина (2.139) к области
.W
Ввиду того что в этой области
0u
и
0,v
правая часть формулы Грина обращается в нуль. Тогда получим
1
11
0.
S
v u v u
u v d u v d
n n n n
(2.142)
Второй из этих интегралов в силу равенства (2.141) и условия
uu
сведется к
.
G
ud
n
Для вычисления первого интеграла введем систему
сферических координат
,,r
с началом в точке
.A
В этом случае на
поверхности
1
S
,
AP
rr
1
nr
,
2
sin .d d d
Следовательно, соотношение (2.142) перепишется в виде
2
2
00
sin
r
G u G
d u G d u d
r r n
.
Правая часть этого равенства не зависит от
.
Поэтому она должна
быть равна также и пределу левой части при
0:
2
2
0
00
lim sin .
r
G u G
d u G d u d
r r n
(2.143)
Чтобы вычислить этот предел, заметим, что
1
1
Gw
r
(
AP
r
обозначаем через
)r
. Тогда
22
22
1
1
0 0 0 0
2
2
00
sin sin
1
1
sin .
rr
r
G u w u
d u G d d u w d
r r r r
u
r
d u d
r r r
Функции
u
и
1
w
– гармонические во всей области
,
включая точку
.A
Поэтому они вместе со своими производными ограничены. Это значит,
что
2
2
1
1
0
00
lim sin 0.
r
wu
d u w d
rr
Со вторым интегралом дело обстоит несколько сложнее, так как
функции
2
1
1
r
r
r
и
11
r
r
неограниченно возрастают при
0.
Найдем предел каждого слагаемого в отдельности:
22
2
00
0 0 0 0
1
lim sin lim sin .
r
r
r
d u d d u d
r
Поскольку функция
u
непрерывна, то
0
0
lim .
rr
uu
Считая
возможным переход к пределу под знаком интеграла (А+С), получаем
2
00
00
sin 4 .
rr
u d d u
Далее, в силу ограниченности
u
r
22
2
00
0 0 0 0
1
lim sin lim sin 0.
r
r
uu
d d d d
r r r
Таким образом, предел в левой части равенства (2.143) есть просто
0 0 0
0
4 4 , , ,
r
u u x y z
так как при
0r
в качестве аргументов функции
u
мы получаем координаты точки
.A
Теперь формула (2.143) примет
окончательный вид
0 0 0
1
, , .
4
G
u x y z u d
n
(2.144)
Таким образом, имеет место утверждение.
7Б16 (Теорема). Пусть функция
G
является функцией Грина для
области
и
0 0 0
,,A x y z
– произвольная точка области
.
Тогда
формула (2.144) дает решение задачи 7А7 Дирихле в пространстве.
7Б17 (Замечание). Метод Грина для задач Дирихле в двумерном
случае также основывается на формуле Грина, аналогичной (2.138).
Вводится гармоническая функция
1
ln ln
AP
AP
wr
r
и, если
1
w
– решение
задачи Дирихле для плоской области
D
с краевым условием
1
,ww
то
функция Грина для области
D
будет иметь следующий вид:
0 0 1 1
1
, ; , ln
AP
G G x y x y w w w
r
.
Поэтому формула
00
1
,
2
G
u x y u d
n
дает решение задачи Дирихле на плоскости, если известна функция Грина.
Функцию
0 0 0
, , ; , ,G G x y z x y z
можно интерпретировать как
потенциал поля, созданного точечным зарядом, помещенным внутри
заземленной замкнутой проводящей поверхности.
